四元数与欧拉角

欧拉角

　　欧拉角是一组用于描述刚体姿态的角度，欧拉提出，刚体在三维欧氏空间中的任意朝向可以由绕三个轴的转动复合生成。通常情况下，三个轴是相互正交的。对于描述旋转角的顺序，并没有特殊的规定，在航空航天领域，通常使用Tait–Bryan顺序，而对应的三个角度又分别成为roll（横滚角），pitch（俯仰角）和yaw（偏航角）。

　　以下四张图有助于直观理解roll，pitch和yaw。

roll

pitch

yaw

roll-pitch-yaw

　　一般约定，绕x、y、z轴旋转的角分别是roll、pitch、yaw，分别记作$\varphi$、$\theta$、$\psi$。从参考坐标系上区分，欧拉角又分为静态和动态，其中静态欧拉角以绝对坐标系（地球）为参考，一般用小写的x-y-z来表示静态坐标系；动态欧拉角以刚体自身的坐标系为参考，一般用大写的X-Y-Z表示。

　　在本文中，我们讨论动态欧拉角，顺规为Z-Y-X。如下图所示：

roll-pitch-yaw

四元数

　　四元数是复数在四维空间的扩展，由哈密顿首次提出。从形式上看，四元数是由$1$和$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$线性组合而成，其中$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$和复数中的$\mathbf{i}$类似，定义如下：

$$\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{ijk}=-1$$

　　$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$之间的运算关系还有：$\mathbf{ij}=\mathbf{k}$、$\mathbf{jk}=\mathbf{i}$、$\mathbf{ki}=\mathbf{j}$、$\mathbf{ji}=-\mathbf{k}$、$\mathbf{kj}=-\mathbf{i}$、$\mathbf{ik}=-\mathbf{j}$。注意到，这里交换律是不成立的。四元数的运算定义和运算法则，这里就不再介绍了，有需要可以参考维基百科。

　　四元数$\mathbf{q}=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$的共轭和模分别定义为：

$$\mathbf{q}^*=a-b\mathbf{i}-c\mathbf{j}-d\mathbf{k}$$ $$\parallel\mathbf{q}\parallel=\sqrt{\mathbf{q\cdot q}}=\sqrt{\mathbf{q q^*}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

　　我们把模为1的四元数称为“单位四元数”，只有单位四元数才能用于描述空间旋转/姿态。要理解单位四元数与姿态/空间旋转的联系，首先得从欧拉旋转定理说起。欧拉旋转定理表明，任意的旋转序列等价于绕某个轴的单次旋转。如果我们能描述这个轴和旋转的角度，就能描述整个旋转序列等价的单次旋转。

　　若存在单位轴向量

$$\vec u=(u_x,u_y,u_z)=u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k}$$

且旋转角为$\theta$，旋转方向为顺着轴向量看去的顺时针，那么描述该旋转的四元数为：

$$\mathbf{q}=e^{ {\frac{1}{2}}\theta(u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k})}=cos\frac{1}{2}\theta+(u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k})sin\frac{1}{2}\theta$$

　　由于$\vec u$是单位向量，容易证明四元数$\mathbf{q}$为单位四元数。对于点$P(p_x,p_y,p_z)$，有向量$\vec{OP}=(p_x,p_y,p_z)$，我们将其写成四元数的形式：

$$\mathbf{p}=0+p_x\mathbf{i}+p_y\mathbf{j}+p_z\mathbf{k}$$

　　将$P$点绕轴向量$\vec u$旋转$\theta$角后得到的点记为$P^{\prime}$，将向量$\vec{OP^{\prime}}$的四元数形式记为$\mathbf{p^{\prime}}$，则有：

$$\mathbf{p^{\prime}}=\mathbf{qpq^{-1}}$$

　　其中$\mathbf{q^{-1}}$称为四元数$\mathbf{q}$的逆，定义为四元数的共轭除以模的平方：

$$\mathbf{q^{-1}}=\frac{\mathbf{q}^*}{\parallel\mathbf{q}\parallel^2}$$

　　对于单位四元数而言，其共轭与逆是相等的。到此，我们知道了用单位四元数计算旋转的方法。注意，四元数描述的实际上是矢量的旋转，而当旋转矢量的起点为原点时，计算结果可以看作是单个点绕某个轴的旋转。

四元数与欧拉角的换算

　　对于右手坐标系，把四元数和欧拉角都表示为向量形式，那么四元数和欧拉角的换算公式如下：

$$\mathbf{q}=\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos(\varphi/2)cos(\theta/2)cos(\psi/2)+sin(\varphi/2)sin(\theta/2)sin(\psi/2)\\sin(\varphi/2)cos(\theta/2)cos(\psi/2)-cos(\varphi/2)sin(\theta/2)sin(\psi/2)\\cos(\varphi/2)sin(\theta/2)cos(\psi/2)+sin(\varphi/2)cos(\theta/2)sin(\psi/2)\\cos(\varphi/2)cos(\theta/2)sin(\psi/2)-sin(\varphi/2)sin(\theta/2)cos(\psi/2)\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}\varphi\\\theta\\\psi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}atan2(2(wx+yz),1-2(x^2+y^2))\\arcsin(2(wy-zx))\\atan2(2(wz+xy),1-2(y^2+z^2))\end{bmatrix}$$

References

维基百科：欧拉角
四元数和旋转以及yaw-pitch-roll的含义
数的创生（四）哈密尔顿的四元数
维基百科：欧拉旋转定理
维基百科：四元数与空间旋转
维基百科：四元数

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Published

26 February 2014

Category

math

Tags

• 数学 3
• 四轴 2